#袜子随机配对问题 >黑板上排列组合 你舍得解开吗 ——《那些年》 话说周末在家洗袜子的时候，突然想到了一个概率问题： >有三双不同的袜子，随意打乱并随意两两放到一起形成三对袜子，其中至少有一对袜子能够成双的概率是多少？请写出思路、计算过程以及结果 我想了半天，没有得到结果，就给自家妹纸说了这个问题，后来俩人就这个问题展开了激烈的讨论，甚至差点打起来（这只是特效而已，其实整个过程很平和），到最后，我们也没有找到正确答案…… 于是我就把这个问题发到了我的好基友群里……收到了一些答案，但是我都觉得有些问题，于是不得已自己想解法…… 经过了一整天的思考，求解的过程慢慢的浮出了水面…… >**解:** >将袜子随意配对的过程分为3步： >1. 从6只袜子中取出2只配成对 >2. 从剩余的4只袜子中取出2只配成对 >3. 剩下两只配成对 >根据乘法原则， >总体事件空间大小=$$ C\_{6}^{2} \cdot C\_{4}^{2} \cdot 1 $$ >至少有一对成双的对立事件——三对袜子都不成双 >依然按照这3步分析三对袜子都不成双的事件空间： > 1\. 从6只袜子中任意取出2只，有三种情况是成双的，剩下的情况都是不成双的，该步事件总数为= $$ C\_{6}^{2}-3 $$ > 2\. 剩下4只袜子，由于第1步不成双，所以这4只中有且只有一双完整的袜子，由于该步同时也决定最后一步是否有成双的情况，要一同考虑在内，该步选择“成双的那两只袜子” 以及 该步选择“不成双的那两只袜子” 都会导致该步和最后一步存在一对成双的袜子，于是，同上，本步事件总数=$$ C_{4}^{2}-2 $$ > 3\. 最后一步是否成双取决于前两步 > 综上，根据乘法原则，三对袜子都不成双的事件空间大小为$$(C\_{6}^{2}-3) \cdot (C\_{4}^{2}-2) \cdot 1$$ >**答:** > 至少有一对袜子成双的概率 $$=1-\frac{(C\_{6}^{2}-3) \cdot (C\_{4}^{2}-2) \cdot 1}{C\_{6}^{2} \cdot C\_{4}^{2} \cdot 1}$$ $$=1-\frac{12\times4}{15\times 6}$$ $$=1-\frac{8}{15}$$ $$=\frac{7}{15}$$ 所以，如果我没算错的话，正确答案应该是7/15。